\begin{note}
    在经典力学中，一维谐振子问题是一个基本问题，它是物体位置或其他物理量
    在平衡值附近作小振动、小摆动、小转动、小振荡、小涨落等问题的理想化概括。在
    量子力学中，不但情况类似，甚至一维量子谐振子问题更为基本，因为它不仅仅是
    微观粒子某个物理量在稳定平衡位置附近作小振动（如晶格格点原子振动）等一类
    常见问题的理想化概括，而且还是将来场量子化的基础。
\end{note}

对为啥进行泰勒展开，除非振动幅度比较大,否则不必考虑展开式中体现非简谐运动的高阶项.
\begin{note}
    这类物理问题的例子很多,例如,原子核内核子(质子或中子)的简谐振动、原子和分子的简谐振动、
    固体晶格上原子的简谐振动.
\end{note}

一维量子谐振子的位势可表示为

\begin{equation}
    V(x)=\frac{1}{2} m \omega^2x^2
\end{equation}


相应的Schrödinger方程是

\begin{equation}
    -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2\psi(x)}{\mathrm{d} x^2}+
    \frac{1}{2} m \omega^2x^2\psi(x)=E \psi(x)
\end{equation}


显然,由于$|x| \rightarrow \infty$时$V(x) \rightarrow \infty$,所以$\psi(x) \xrightarrow{|x| \rightarrow \infty}0$.
因此,在这种平方增长势阱的
囚禁下,粒子运动是局域化的,不会到达无穷远处.为方便计算,将方程的自变数
无量纲化,引入自变数变换$\xi=\sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} x$,
并令$\lambda=\frac{2E}{\hbar \omega}$,可得

\begin{equation}
    \frac{\mathrm{d}^2\psi(\xi)}{\mathrm{d} \xi^2}+\left(\lambda-\xi^2\right) \psi(\xi)=0
\end{equation}


这里已经简单地记$\psi(\xi)=\psi(x)$.
下面求解这个方程.当$|\xi| \rightarrow \infty$时,
此方程趋于方程$\psi^{\prime \prime}-\xi^2\psi=0$,
可知在$\psi$渐近行为中起主要作用的因子是$\mathrm{e}^{\pm\frac{\xi^2}{2}}$.
略去含$\mathrm{e}^{+\frac{\xi^2}{2}}$的一个,
因为相应波函数不能平方可积.于是,通过考察方程在无限远处的行为,确定引入如下函数变换:

\begin{equation}
    \psi(\xi)=\mathrm{e}^{\frac{\xi^2}{2}} \varphi(\xi)
\end{equation}



这样,求解$\psi$方程问题便转化为求解$\varphi$方程问题

\begin{equation}
    \frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d} \xi^2}
    -2\xi \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} \xi}
    +(\lambda-1) \varphi=0
\end{equation}


此方程在$\xi$取有限值处无奇点,可以假设解为幂级数形式
$\varphi(\xi)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n \xi^n$,其中$a_n(\forall n)$为待定系数.
将此待定解代入$\varphi$的方程,逐项决定系数$a_n$,

\begin{equation}
    \sum_{n=2} n(n-1) a_n \xi^{n-2}-
    2\sum_{n=1} n a_n \xi^n+(\lambda-1) \sum_{n=0} a_n \xi^n=0
\end{equation}

等式要求左边幕次相同的各项系数之和为零.由此得到$a_n$间的递推关系如下:

\begin{equation}
    (n+2)(n+1) a_{n+2}=(1+2n-\lambda) a_n
\end{equation}

注意系数递推各自在偶次幂项之间和奇次幕项之间独立进行(分别由$a_0$和$a_1$出发),
可以分开奇、偶项求和。如果参数$\lambda$数值不等于某个正奇数, $(1+2n-\lambda)$就总不为零,
递推手续将一直进行下去直到无穷,解就成为一个无穷级数

\begin{equation}
    \varphi(\xi)=\sum_{m=0}^{\infty} a_{2m} \xi^{2m}+\sum_{m=0}^{\infty} a_{2m+1} \xi^{2m+1}
\end{equation}


当$\xi \rightarrow \infty$时, $\varphi(\xi)$的渐近性质主要取决于$m$较大的项.
现在当$m$很大时,由递推关系可知,两个无穷级数的各自相邻项的比值都趋于

\begin{equation}
    \frac{a_{n+2}}{a_n} \rightarrow \frac{2}{n} \quad n\rightarrow \infty
\end{equation}


这是指数函数$\mathrm{e}^{2\xi^2}$的展开式当$\xi$幕次很大时相邻两项的比值.由此可知,这将导致
$\xi \rightarrow \infty$时
$\psi(\xi)=\mathrm{e}^{-\xi^2/2} \varphi(\xi) \rightarrow \infty$,
不符合对$\psi(\xi)$的物理要求.
\begin{note}
    对$e^{2\xi^2}$进行展开，就是将$2\xi^2$代入$e^x$的展开式里：
    \begin{equation}
        e^{2\xi^2}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{2n} }{n!} \xi^{2n}
    \end{equation}

    因此$\psi(\xi)\sim e^{3\xi^2/2}\rightarrow \infty$
\end{note}

由这个分析可知此幕级数应当截断,即参数$\lambda$必须等于某个正奇数,
记为$\lambda=2n+1$.这时系数递推将终止在第$n$项.
而$\varphi$方程就成为第$n$阶Hermite方程

\begin{equation}
    \frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d} \xi^2}-2\xi \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} \xi}+2n \varphi=0
\end{equation}

其解为$n$阶Hermite多项式$H_n(\xi)$

\begin{equation}
    \varphi(\xi)=\mathrm{H}_n(\xi)=(-1)^n \mathrm{e}^{\xi^2} \frac{\mathrm{d}^n \mathrm{e}^{-\xi^2}}{\mathrm{~d} \xi^n}
\end{equation}


它们中的前几个是

$\begin{array}{ll}
        \mathrm{H}_0(\xi)=1,                  & \mathrm{H}_1(\xi)=2\xi                    \\
        \mathrm{H}_2(\xi)=-2+4\xi^2,          & \mathrm{H}_3(\xi)=-12\xi+8\xi^3           \\
        \mathrm{H}_4(\xi)=12-48\xi^2+16\xi^4, & \mathrm{H}_5(\xi)=120\xi-160\xi^3+32\xi^5
    \end{array}
$

这些$\mathrm{H}_n(\xi)$具有以下正交归一性质和递推关系:


\begin{equation}
    \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{H}_m(\xi) \mathrm{H}_n(\xi) \mathrm{e}^{-\xi^2} \mathrm{~d} \xi= \begin{cases}0                 & (m \neq n) \\
             2^n \sqrt{\pi} n! & (m=n)\end{cases}
\end{equation}

\begin{equation}
    \left\{\begin{array}{l}
        \frac{\mathrm{dH}_n(\xi)}{\mathrm{d} \xi}=2n \mathrm{H}_{n-1}(\xi) \\
        \mathrm{H}_{n+1}(\xi)+2n \mathrm{H}_{n-1}(\xi)=2\xi \mathrm{H}_n(\xi)
    \end{array}\right.
\end{equation}


而解$\psi(\xi)=\mathrm{e}^{-\frac{\xi^2}{2}} \mathrm{H}_n(\xi)$
也满足波函数的各项条件.于是,一维量子谐振子能谱和波函数的表达式为

\begin{equation}
    \left\{\begin{array}{l}
        \psi_n(x)=\left(\frac{m \omega}{\pi \hbar}\right)^{\frac{1}{4}}\left(2^n n!\right)^{-\frac{1}{2}} \mathrm{e}^{\frac{m \omega}{2n} x^2} \mathrm{H}_n\left(\sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} x\right) \\
        E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega \quad(n=0,1,2, \cdots)
    \end{array}\right.
\end{equation}


这里$\psi_n(x)$是已正交归一的.前三个能级的概率分布$\left|\psi_n(x)\right|^2$如
\figref{fig:ProbabilityDistributionOfTheFirstThreeEnergyLevelsOfAOne-DimensionalHarmonicOscillator20240816121229}所示.
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{figure/ProbabilityDistributionOfTheFirstThreeEnergyLevelsOfAOne-DimensionalHarmonicOscillator20240816121229.jpg}
    \caption{一维谐振子前三个能级的概率分布\label{fig:ProbabilityDistributionOfTheFirstThreeEnergyLevelsOfAOne-DimensionalHarmonicOscillator20240816121229}}
\end{figure}
由于量子谐振子问题十分重要,下面简要讨论并小结一下量子谐振子的有关结果:

\begin{enumerate}[label=\Alph*]
    \item 任一能量本征态上，平均动能和平均势能相等.这说明，运动中量子谐振子动能和势能的转换，就平均而言符合经典图像
    \item 在能量本征值问题上，量子谐振子与经典谐振子有两个显著
          \begin{itemize}
              \item 能量本征值随量子数变化不但是分立的，而且是等间距的，间距只和振子的固有频率有关。
              \item 最低能态（基态）的能量并不为零，而是大于零.
          \end{itemize}
    \item 注意在第$n$个能级上有$n$个可以看作准粒子的量子$\hbar \omega$.
          与此同时,当$n$为偶数时,波函数$\psi_n(x)$为偶函数;
          当$n$为奇数时, $\psi_n(x)$为奇函数.这暗示谐振子单个量子$\hbar \omega$的内禀宇称是负的.
    \item 谐振子在Fock空间中的表示很常用
    \item 研究与温度$T$热库相接并达到热平衡的大量一维谐振子.这时按照Maxwell-Boltzmann分布律,
          它们处于能量为$E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega$态的概率为
          \begin{equation}
              p_n=\frac{\mathrm{e}^{-\beta E_n}}{\sum \mathrm{e}^{-\beta E_n}}
          \end{equation}
          谐振子处于温度$T$的混态时,其平均能量为
          \begin{equation}
              \bar{E}=\sum p_n\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega=
              \frac{\hbar \omega}{\mathrm{e}^{\beta \hbar \omega}-1}+\frac{1}{2}
              \hbar \omega
          \end{equation}
          除零点能项外,正是第一章黑体辐射谱的Planck公式.

    \item \figref{fig:QuantumAndClassicalResultsForHarmonicOscillators20240816122628}
          当量子数$n$越大,量子结果和经典结果越接近

\end{enumerate}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{figure/QuantumAndClassicalResultsForHarmonicOscillators20240816122628.jpg}
    \caption{谐振子量子结果和经典结果.图中细线代表按经典观点,
        在谐振子势阱中找到质点的概率密度分布(单位长度内发现粒子的概率).
        粗线代表量子结果。
        \label{fig:QuantumAndClassicalResultsForHarmonicOscillators20240816122628}}
\end{figure}

\begin{note}
    \par 这个$E_0=\hbar \omega/2$称为零点能。
    就是说，当温度趋于绝对零度时，无论是电磁场的简谐振动还
    是晶体点阵上的原子振动均已处在最低能态。但按照量子力学的观点，作为量子谐
    振子，它们却依然在振动着。因为，这时平均动能和均方位移都大于零.
    这两个物理量不为零就表明了量子谐振子仍然在振动着。这种振动被称为零点振
    动。事实上，低温下X射线的Bragg弹性散射强度分布依然和刚性点阵结果不符，
    说明这时点阵的零点振动依然存在，由电磁场的这种零点振动将
    造成的可观测的物理效应--Casimir效应.
    \par “能量量子化”和“存在零点能”是量子振子能谱不同于经典振子能谱的两大特点，
    而且，“存在零点能”的现象即使在Planck假设中也是没有表现出来的。这两个特点是粒子波动性的体现：前者由于
    粒子de Broglie波的自身干涉；后者来源于粒子de Broglie波固有的不确定性关系，
    说明动能值为零值的de Broglie波没有物理意义.
    从经典物理学观点来看，量子谐振子的基态是具有“最小不确定性”的状态.

    \par 由此也得到所谓的热力学第三定律：\textbf{绝对零度不可达到。}
    \par 于是,若考察振子随能量的分布,可将其中因子
    $\left(\mathrm{e}^{\beta \hbar \omega}-1\right)^{-1}$
    看作振子(声子或光子)在能量为$\hbar \omega$态上的平均占有数,即Bose-Einstein分布.
    当然,如果黑体腔内边界条件不规则,腔中热辐射电磁场所含频率$\omega$会是连续的.
\end{note}
